Celso Albelo naît en 1976 à Santa Cruz. Il prend des cours au Conservatoire de sa ville natale puis part à Madrid se former à l’École Supérieure de la Reina Sofía avant d'accéder à l'Académie de Parme Busseto.

Sa carrière professionnelle commence en 2006 avec le Duc de Mantoue dans Rigoletto de Verdi à Busseto. En 2012, le ténor endosse le rôle de Nemorino dans L’Élixir d'Amour de Donizetti à l'Opéra d’État de Vienne et reprend le Duc de Mantoue à La Fenice et à Parme. Il fait ses premiers pas en France avec le rôle de Tonio dans La Fille du Régiment de Donizetti à l'Opéra de Paris. Le ténor chante ensuite Elvino dans La Somnambule de Bellini à Vienne. L'année suivante, en 2013, l'Allemagne fait la découverte du chanteur dans sa capitale avec Lucia di Lammermoor de Donizetti (Sir Edgardo) et à Munich avec le rôle de Tebaldo dans Les Capulet et les Montaigu de Bellini. Il fait ses premiers pas au TCE avec La Petite Messe solennelle de Rossini la même année. Le chanteur prend le rôle de Ruodi dans Guillaume Tell au Festival de Pesaro dédié à Rossini.

En 2014, il se voit attribuer le rôle-titre de Roberto Devereux de Donizetti à Santa Cruz mais aborde aussi le répertoire allemand avec Le Chevalier à la rose de Strauss (un Chanteur italien) à Munich. Le ténor revient à Bellini et Les Puritains en Arturo à Bilbao et à Las Palmas. A La Corogne, il chante Alfredo dans La Traviata de Verdi. Il incarne Riccardo Percy dans Anna Bolena de Donizetti à Vienne ainsi qu'à Santa Cruz, puis Roberto dans Marie Stuart de Donizetti dans la même ville mais également au Met où il fait ses premiers pas. Il aborde ensuite le répertoire français avec le rôle-titre de Werther de Massenet au Théâtre de Bologne, puis Nicias dans Thaïs au Liceu. En 2017, il est Fernand dans La Favorite de Donizetti à l'Opéra Royal de Wallonie. L’année suivante, il chante le Chevalier des Grieux dans Manon de Massenet à Bilbao et chante les rôles-titres de La Damnation de Faust (Berlioz) à Valence et de Roméo et Juliette (Gounod) à Valladolid.

En octobre 2018, Celso Albelo sera Arturo Talbo dans Les Puritains au Liceu. Le mois suivant, il incarnera Sir Edgardo di Ravenswood dans Lucia di Lammermoor (Donizetti) à Tenerife. Il fera une escale au Théâtre San Carlo en février 2019 pour chanter Riccardo dans Un Bal masqué (Verdi) avant de retourner à Barcelone en mars dans une version concert d’Hamlet (Laërte) de Thomas. Liège le recevra en avril en Percy dans Anna Bolena (Donizetti). Il reprendra son Duc de Mantoue (Rigoletto) en mai à Valence avant d’interpréter Alfredo Germont (La Traviata) en septembre à Naples.