Le baryton André Cognet naît et grandit à Marseille. Il commence ses études vocales au conservatoire, où il est admis à 14 ans. A 23 ans, il est engagé par Bernard Lefort pour intégrer l'école de chant de l'Opéra de Paris.

Ses premiers rôles le conduisent sur les scènes parisiennes. Ainsi chante-t-il Pluton dans l'Orphée de Monteverdi au Théâtre National de Chaillot. Il incarne par la suite Escamillo (Carmen) dans la production de Peter Brook (La Tragédie de Carmen) au Théâtre des Bouffes-du-Nord de Paris, rôle qu'il reprendra une quarantaine de fois. À la même période, il travaille le répertoire mozartien en Figaro dans Les Noces de Figaro et en Orateur dans La Flûte enchantée à Paris et en région. Parallèlement à cela, il interprète à la Comédie française les parties chantées du Bourgeois Gentilhomme de Lully.

En 1995, le baryton fait ses débuts à l'étranger. Après avoir doublé Samuel Ramel dans Les Contes d'Hoffmann d'Offenbach à Covent Garden, il est Zuniga (Carmen) aux côtés de José Carreras à Birmingham et à Munich. En 1996, il interprète Chuong-Sin dans L'Epouse injustement soupçonnée de Valérie Stephan, créé au Théâtre des Abbesses à l'occasion de son ouverture. Deux ans plus tard, le baryton chante le rôle-titre d'Hamlet d'Ambroise Thomas à Karlsruhe, puis Nilakantha dans Lakmé de Delibes et Ezio dans Attila de Verdi. Sa prestation du rôle de Zurga (Les Pêcheurs de perles) à l'Opera North est remarquée, de telle sorte que le baryton apparaît en première page du Times. En 1998, c'est La Fenice de Venise qui lui ouvre ses portes en lui proposant le rôle titre d'Il ré todoro a Venezia de Giovanni Paisiello puis celui d'Albert dans Werther de Massenet. La même année, le baryton retravaille ce dernier rôle à Tel Aviv. Par la suite, il est Hérode dans L'Enfance du Christ de Berlioz à Madrid.

Après avoir chanté Escamillo aux côtés de José Carreras aux Arènes de Vérone, André Cognet interprète à nouveau ce rôle en 2001 au Théâtre San Carlo de Naples. Dans le même temps, il prend le rôle de Lescaut (Manon) à Tel Aviv. Par la suite, il fait ses débuts en Méphistophélès dans Faust de Gounod à Miami. L'année suivante, le baryton retravaille le rôle d'Escamillo à Marseille dans Carmen mis en scène par Patrice Caurier et Moshe Leiser, puis il chante Capulet dans Roméo et Juliette de Gounod au Grand Florida Opera de Miami. En 2006, il se consacre à une série d'enregistrements, notamment d'airs à succès pour TF1 (Hamlet, Escamillo, Rigoletto, Comte des Noces de Figaro) et des œuvres méconnues d'Offenbach à Londres pour la maison Opera Rara. L'année suivante, il retravaille le rôle d'Albert dans Werther à Nice, où il rencontre un certain succès. Entre 2008 et 2010, le baryton chante Capulet au Concertgebouw d'Amsterdam, puis aux Nuits Blanches de Saint-Petersbourg. Dernièrement, le baryton interprète Swallow dans Peter Grimes de Britten à Nice en 2015 et puis se produit lors de récitals et de festivals à Paris et en région.